Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un), biết: a) u1 + u6 = 18; u3 + u7 = 22

Bài 7 trang 61 SBT Toán 11 Tập 1: Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (u_n), biết:

a) $\left\{\begin{array}{l}{u}_1+u_6=18\\ u_3+u_7=22;\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{l}{u}_9-u_4=15\\ u_3\cdot u_8=184;\end{array}\right.$

c) $\left\{\begin{array}{l}{u}_6=8\\ u_2^2+u_4^2=16.\end{array}\right.$

Trả lời

Gọi số hạng đầu của cấp số nhân là u₁ và công sai là d.

a) $\left\{\begin{array}{l}{u}_1+u_6=18\\ u_3+u_7=22\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1+u_1+5d=18\\ u_1+2d+u_1+6d=22\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}2u_1+5d=18\\ 2u_1+8d=22\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=\frac{17}{3}\\ d=\frac{4}{3}\end{array}\right.$

Vậy $u_1=\frac{17}{3}$ và $d=\frac{4}{3}.$

b) $\left\{\begin{array}{l}{u}_9-u_4=15\\ u_3\cdot u_8=184\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1+8d-\left(u_1+3d\right)=15\\ \left(u_1+2d\right)\left(u_1+7d\right)=184\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}5d=5\\ \left(u_1+2d\right)\left(u_1+7d\right)=184\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}d=3\\ \left(u_1+2d\right)\left(u_1+7d\right)=184\end{array}\right.$

Với d = 3 ta có: (u₁ + 2.3)(u₁ + 7.3) = 184

$\iff u_1^2+27u_1-58=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}{u}_1=2\\ u_1=-29\end{array}\right.$

Vậy $\left\{\begin{array}{l}d=3\\ u_1=2\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}d=3\\ u_1=-29\end{array}\right.$

c) $\left\{\begin{array}{l}{u}_6=8\\ u_2^2+u_4^2=16\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1+5d=8\\ {\left(u_1+d\right)}^2+{\left(u_1+3d\right)}^2=16\left(*\right)\end{array}\right.$

Từ u₁ + 5d = 8 suy ra u₁ = 8 ‒ 5d, thay vào biểu thức (*) ta có:

(8 ‒ 5d + d)² + (8 ‒ 5d + 3d)² = 16

⇔ (8 ‒ 4d)² + (8 ‒ 2d)² = 16

⇔ (64 – 64d + 16d²) + (64 – 32d + 4d²) = 16

⇔ 20d² – 96d + 112 = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}d=2\\ d=\frac{14}{5}\end{array}\right.$

Với d = 2 thì u₁ = 8 ‒ 5.2 = ‒2

Với $d=\frac{14}{5}$ thì $u_1=8-5\cdot \frac{14}{5}=-6$

Vậy $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=-2\\ d=2\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=-6\\ d=\frac{14}{5}.\end{array}\right.$

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 1

Bài 1: Dãy số

Bài 2: Cấp số cộng

Bài 3: Cấp số nhân

Bài tập cuối chương 2

Bài 1: Giới hạn của dãy số