Viết phương trình chính tắc của hypebol (H), biết (H) đi qua điểm M3 căn 2; -4và có một tiêu điểm

Bài 7.32 trang 46 SBT Toán 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của hypebol (H), biết (H) đi qua điểm $M\left(3\sqrt{2};-4\right)$ và có một tiêu điểm là F₂(5; 0).

Trả lời

Phương trình chính tắc của (H) có dạng: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$   (trong đó a, b > 0)

Do (H) có một tiêu điểm là F₂(5; 0) nên ta có:

c = 5 ⇒ b² + a² = c² = 25 ⇔ a² = 25 – b²

Vì (H) đi qua điểm $M\left(3\sqrt{2};4\right)$ nên ta có

$\frac{{\left(3\sqrt{2}\right)}^2}{a^2}-\frac{4^2}{b^2}=1\iff \frac{18}{a^2}-\frac{16}{b^2}=1$            (1)

Đặt t = b² (t > 0) ⇒ a² = 25 – t. Thay vào (1) ta được

$\frac{18}{25-t}-\frac{16}{t}=1$

⇒ 18t – 16(25 – t) = (25 – t)t

⇔ 18t – 400 + 16t = 25t – t²

⇔ t² + 9t – 400 = 0

⇔ t = 16 (thỏa mãn) hoặc t = –25 (không thỏa mãn)

Do đó, b² = t = 16, a² = 25 – t = 9.

Vậy phương trình chính tắc của (H) là: $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ .

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Bài 22: Ba đường conic

Bài tập cuối chương 7

Bài 23: Quy tắc đếm

Bài 24: Hoán vị, chỉnh vị và tổ hợp