Cho điểm M(x0; y0) thuộc elip (E) có phương trình x^2/2 + y^2/1 = 1. a) Tính MF1^2 – MF2^2  theo x0; y0

Bài 7.36 trang 47 SBT Toán 10 Tập 2: Cho điểm M(x₀; y₀) thuộc elip (E) có phương trình $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$ .

a) Tính MF₁² – MF₂²  theo x₀; y₀. Từ đó tính MF₁, MF₂, theo x₀; y₀.

b) Tìm điểm M sao cho MF₂ = 2MF₁.

c) Tìm M sao cho góc nhìn của M tới hai đểm F₁; F₂ (tức là góc $\widehat{F_{1}M{F}_2}$ ) là lớn nhất ?

Trả lời

Từ phương trình chính tắc của (E) ta có

b = 1, $a=\sqrt{2},c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{2-1}=1$.

(E) có hai tiêu điểm là F₁(–1; 0); F₂(1; 0).

a)

Ta có:

MF₁² = (x₀ + 1)² + (y₀ – 0)² = (x₀ + 1)² + y₀²

MF₂² = (x₀ – 1)² + (y₀ – 0)² = (x₀ – 1)² + y₀²

MF₁² – MF₂²  

= (x₀ + 1)² + y₀²  – [(x₀ – 1)² + y₀²]

= (x₀ + 1)²  – (x₀ – 1)²

= x₀²  + 2x₀ + 1 – (x₀²  – 2x₀ + 1)

= 4x₀.

Mặt khác, do M thuộc (E) nên ta có:

MF₁ + MF₂ = 2a = $2\sqrt{2}$  (1)  

Mà: (MF₁ – MF₂)(MF₁ + MF₂) = MF₁² – MF₂²  

 $\Rightarrow M{F}_1-M{F}_2=\frac{M{F}_1^2-M{F}_1^2}{M{F}_1+M{F}_2}=\frac{4x_0}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}{x}_0$ (2)

Cộng hai vế của (1) và (2) ta có:

2MF₁ = $2\sqrt{2}$  + $\sqrt{2}{x}_0$

⇔ MF₁ =  $\sqrt{2}$ +  $\frac{x_0}{\sqrt{2}}$

⇒ MF₂ = $2\sqrt{2}-\sqrt{2}-\frac{x_0}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}-\frac{x_0}{\sqrt{2}}$ .

b)

Sử dụng kết quả của phần a) ta có:

$M{F}_2=2M{F}_1\iff \sqrt{2}-\frac{x_0}{\sqrt{2}}=2\left(\sqrt{2}+\frac{x_0}{\sqrt{2}}\right)\iff \frac{3x_0}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}\iff x_0=-\frac{2}{3}$

Mặt khác do M thuộc (E) nên ta có:

$\frac{x_0^2}{2}+\frac{y_0^2}{1}=1\iff y_0^2=1-\frac{x_0^2}{2}=1-\frac{{\left(-\frac{2}{3}\right)}^2}{2}=\frac{7}{9}\iff \left[\begin{array}{c}{y}_0=\frac{\sqrt{7}}{3}\\ y_0=-\frac{\sqrt{7}}{3}\end{array}\right.$

Vậy $M\left(-\frac{2}{3};\frac{\sqrt{7}}{3}\right)$ hoặc $M\left(-\frac{2}{3};-\frac{\sqrt{7}}{3}\right)$ .

c)

Áp dụng định lí côsin trong tam giác MF₁F₂, ta có

$\cos \widehat{F_{1}M{F}_2}=\frac{M{F}_1^2+M{F}_2^2-F_1{F}_2^2}{2.M{F}_1.M{F}_2}$

$=\frac{{\left(\sqrt{2}+\frac{x_0}{\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(\sqrt{2}-\frac{x_0}{\sqrt{2}}\right)}^2-2^2}{2.\left(\sqrt{2}+\frac{x_0}{\sqrt{2}}\right).\left(\sqrt{2}-\frac{x_0}{\sqrt{2}}\right)}=\frac{x_0^2}{4-x_0^2}$

Ta có: $\frac{x_0^2}{2}=1-y_0^2\le 1$  ⇔ 0 ≤ x₀² ≤ 2 ⇒ 4 – x₀² > 0.

Suy ra $\cos \widehat{F_{1}M{F}_2}\ge 0\Rightarrow \widehat{F_{1}M{F}_2}\le 90°$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x₀ = 0 ⇒ y₀  = ±1

Vậy M(0; 1) hoặc M(0; –1) thì M nhìn hai tiêu điểm dưới góc nhìn lớn nhất.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Bài 22: Ba đường conic

Bài tập cuối chương 7

Bài 23: Quy tắc đếm

Bài 24: Hoán vị, chỉnh vị và tổ hợp