Trong một phòng khoảng cách hai bức tường là L và chiều cao tường là H có treo một gương phẳng

Đề bài: Trong một phòng khoảng cách hai bức tường là L và chiều cao tường là H có treo một gương phẳng trên một bức tường. Một người đứng cách gương một khoảng bằng d để nhìn gương. Độ cao nhỏ nhất của gương là bao nhiêu để người đó nhìn thấy cả bức tường sau lưng mình.

Trả lời

+ Dựng $B^{\prime }{C}^{\prime }$ là ảnh của $BC$ qua gương.

Vì: Để quan sát nhìn thấy cả bức tường sau gương thì mắt phải đồng thời nhìn thấy ảnh $B^{\prime }$ và $C^{\prime }$.

⇒ Mắt $M$ phải nhận được các tia phản xạ từ gương của các tia tới xuất phát từ $B$ và $C$.

+ Gọi $K,I$ lần lượt là giao điểm của $C^{\prime }M$ và $B^{\prime }M$ với $AD$

⇒ $IK$ là chiều cao nhỏ nhất của gương.

+ Xét ΔNKM và ΔDKC có:

$\widehat{MNK}=\widehat{CDK}(={90}^o)$

$\widehat{NMK}=\widehat{DCK}$

⇒ ΔNKM $\backsim$ ΔDKC (g - g)

⇒ ${\displaystyle \frac{NK}{DK}}={\displaystyle \frac{NM}{DC}}$ (cặp cạnh t/ứ)

⇒ ${\displaystyle \frac{NK}{DK}}={\displaystyle \frac{NM}{DC}}={\displaystyle \frac{d}{L}}$ ${}^{(1)}$

+ Xét ΔNMI và ΔABI có:

$\widehat{MNI}=\widehat{BAI}={90}^o$

$\widehat{NMI}=\widehat{ABI}$

⇒ ΔNMI $\backsim$ ΔABI (g - g)

⇒ ${\displaystyle \frac{NI}{AI}}={\displaystyle \frac{NM}{AB}}$ (cặp cạnh t/ứ)

⇒ ${\displaystyle \frac{NI}{AI}}={\displaystyle \frac{NM}{AB}}={\displaystyle \frac{d}{L}}$ ${}^{(2)}$

+ Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

 ${\displaystyle \frac{NK}{DK}}={\displaystyle \frac{NI}{AI}}={\displaystyle \frac{NK+NI}{DK+AI}}={\displaystyle \frac{d}{L}}$

⇒ ${\displaystyle \frac{KI}{KD+AI}}={\displaystyle \frac{d}{L}}$ (N ∈ IK)

⇒ ${\displaystyle \frac{KI}{AD}}={\displaystyle \frac{d}{L+d}}$

⇒ $IK={\displaystyle \frac{d.H}{L+d}}$

KL: Vậy chiều cao nhỏ nhất của gương là ${\displaystyle \frac{d.H}{L+d}}$