Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left(P\right):2\left(m^2+m+2\right)x+\left(m^2-1\right)y+\left(m+2\right)z+m^2+m+1=0$

 luôn chứa đường thẳng $∆$ cố định khi m thay đổi. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến $∆$ là?

A. $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Ta có: $2\left(m^2+m+2\right)x+\left(m^2-1\right)y+\left(m+2\right)z+m^2+m+1=0,\forall m\in ℝ$

$$\begin{gathered} \iff m^2\left(2x+y+1\right)+m\left(2x+z+1\right)+4x-y+2z+1=0,\forall m\in ℝ \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2x+y+1=0\\ 2x+z+1=0\\ 4x-y+2z+1=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x+y+1=0\\ 2x+z+1=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=z\\ 2x+y+1=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy $\left(P\right)$  luôn chứa đường thẳng $\left(\Delta \right)$  cố định: $\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{t}{2}-\frac{1}{2}\\ y=t\\ z=t\end{array}\right.$

Đường thẳng $∆$ đi qua $A\left(-\frac{1}{2};0;0\right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{\Delta }}=\left(-\frac{1}{2};1;1\right)$ .

Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ đến $∆$ là: $d\left(O;\Delta \right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{u_{\Delta }}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{u_{\Delta }}\right|}=\frac{\sqrt{2}}{3}$ .

Chọn C.