Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình $x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z-3=0$  và điểm $A\left(5;3;-2\right)$ . Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A và luôn cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt $M,N$ .

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=AM+4AN$ .

A. $S_{\min }=30$ .

Mặt cầu $\left(S\right)$  có tâm $I\left(2;-1;1\right)$ , bán kính $R=\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2+1^2-\left(-3\right)}=3$ .

Ta có: $AI=\sqrt{{\left(2-5\right)}^2+{\left(-1-3\right)}^2+{\left(1+2\right)}^2}=\sqrt{34}>R$  nên A nằm ngoài mặt cầu $\left(S\right)$ .

Ta lại có: $S=AM+4AN$ .

Đặt $AM=x,x\in \left[\sqrt{34}-3;\sqrt{34}+3\right]$ .

Mà $AM.AN=A{I}^2-R^2=34-9=25\Rightarrow AN=\frac{25}{AM}$ .

Do đó: $S=f\left(x\right)=x+\frac{100}{x}$  với $x\in \left[\sqrt{34}-3;\sqrt{34}+3\right]$ .

Ta có: $f^{\text{'}}\left(x\right)=1-\frac{100}{x^2}=\frac{x^2-100}{x}<0$  với $x\in \left[\sqrt{34}-3;\sqrt{34}+3\right]$ .

Do đó: $\underset{\left[\sqrt{34}-3;\sqrt{34}+3\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(\sqrt{34}+3\right)=5\sqrt{34}-9$ .

Dấu “=” xảy ra $\iff A,M,N,I$  thẳng hàng và $AM=\sqrt{34}+3;AN=\sqrt{34}-3$ .

Chọn C.