Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z-3=0
193
24/04/2024
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x2+y2+z2−4x+2y−2z−3=0 và điểm A(5;3;−2) . Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A và luôn cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt M,N .
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=AM+4AN .
B. Smin=20 .
C. Smin=5√34−9 .
D. Smin=√34−3 .
Trả lời

Mặt cầu (S) có tâm I(2;−1;1) , bán kính R=√22+(−1)2+12−(−3)=3 .
Ta có: AI=√(2−5)2+(−1−3)2+(1+2)2=√34>R nên A nằm ngoài mặt cầu (S) .
Ta lại có: S=AM+4AN .
Đặt AM=x, x∈[√34−3;√34+3] .
Mà AM.AN=AI2−R2=34−9=25⇒AN=25AM .
Do đó: S=f(x)=x+100x với x∈[√34−3;√34+3] .
Ta có: f' với .
Do đó: .
Dấu “=” xảy ra thẳng hàng và .
Chọn C.