Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(9,6,11), B(5,7,2) và điểm M di động trên mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=36$ .

Giá trị nhỏ nhất của $AM+2MB$ bằng

A. $\sqrt{105}$ .

Mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=36$  có tâm $I\left(1;2;3\right)$  và bán kính $R=6$ .

Ta có $IA=12=2R$ .

Gọi E là giao điểm của IA và mặt cầu $\left(S\right)$  suy ra E là trung điểm của IA nên $E\left(5;4;7\right)$ .

Gọi F là trung điểm của IE suy ra $F\left(3;3;5\right)$ .

Xét $\Delta MIF$  và $\Delta AIM$  có $\widehat{AIM}$  chung và $\frac{IF}{IM}=\frac{IM}{IA}=\frac{1}{2}$ .

Suy ra $\Delta MIF\Delta AIM\left(\text{c.g.c}\right)\Rightarrow \frac{MA}{MF}=\frac{AI}{MI}=2\Rightarrow MA=2MF$ .

Do đó $AM+2MB=2\left(MF+MB\right)\ge 2BF=2\sqrt{29}$  (theo bất đẳng thức tam giác).

Dấu “=” xảy ra khi M là giao điểm FB và mặt cầu $\left(S\right)$ .

Chọn C.