Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+y-z-1=0 và

Trả lời

Đường thẳng $d$  có phương trình tham số là $\left\{\begin{array}{l}x=4-2t\\ y=-2+2t\\ z=-1+t\end{array}\right.\left(t\in ℝ\right)$ .

Lấy điểm $M=d\cap \left(P\right)\Rightarrow M\left(4-2t;-2+2t;-1+t\right)\in d$ . Thay đổi tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$  ta được:$4-2t-2+2t+1-t=0\iff t=2$ .

Suy ra $M\left(0;2;1\right)$ .

Do đó $d\cap \left(P\right)=M\left(0;2;1\right)$ .

Lấy $A\left(4;-2;-1\right)\in d$ . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng $\left(P\right)$ .

Đường thẳng AH đi qua $A\left(4;-2;-1\right)$  và nhận $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=\left(1;1;-1\right)$  làm vectơ chỉ phương nên AH có phương trình là $\left\{\begin{array}{l}x=4+t_1\\ y=-2+t_1\\ z=-1-t_1\end{array}\right.\left(t_1\in ℝ\right)$ .

Suy ra $H\left(4+t_1;-2+t_1;-1-t_1\right)$ .

Thay tọa độ H vào phương trình mặt phẳng (P) được

$4+t_1-2+t_1+1+t_1-1=0\iff t_1=-\frac{2}{3}\Rightarrow H\left(\frac{10}{3};-\frac{8}{3};-\frac{1}{3}\right)$

MH là hình chiếu của d lên mặt phẳng (P),  đi qua $M\left(0;2;1\right)$  và nhận $\overrightarrow{MH}=\left(\frac{10}{3};-\frac{14}{3};-\frac{4}{3}\right)=-\frac{2}{3}\left(-5;7;2\right)$  là vectơ chỉ phương nên có phương trình là $\frac{x}{-5}=\frac{y-2}{7}=\frac{z-1}{2}$ .

Chọn B.