Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2,1,-2), B(5,1,1) và mặt
87
23/04/2024
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2,1,-2), B(5,1,1) và mặt cầu (S):x2+y2+z2+6y+12z+9=0 . Xét đường thẳng d đi qua A và tiếp xúc với (S) sao cho khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất. Phương trình của đường thẳng d là
B. {x=2y=1−4tz=−2+t .
C. {x=2+2ty=1−2tz=−2+t .
D. {x=2+ty=1+4tz=−2−t .
Trả lời
Mặt cầu (S):x2+y2+z2+6y+12z+9=0 có tâm I(0;−3;−6) bán kính R=6 .
IA=6=R⇒A∈(S), IB=3√10>R nên B nằm ngoài (S).

Đường thẳng d đi qua A và tiếp xúc với (S) nên d nằm trong mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A.
Mặt phẳng (P) đi qua A và nhận →IA làm vectơ pháp tuyến có phương trình là x+2y+2z=0 .
Gọi H là hình chiếu của B lên (P) thì tọa độ của H(4;−1;−1) .
Ta có: d(B;d)≥d(B;(P))=BH .
Vậy khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất khi d đi qua H. Ta có →ud=→AH=(2;−2;1) .
Suy ra phương trình đường thẳng d là: {x=2+2ty=1−2tz=−2+t .
Chọn C.