Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x-1)^2+(y+1)^2+(z-2)^2=9 và
81
23/04/2024
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x−1)2+(y+1)2+(z−2)2=9 và điểm M(1;3;−1) . Biết rằng các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M tới mặt cầu đã cho luôn thuộc một đường tròn (C) có tâm J(a;b;c) .
Giá trị 2a+b+c bằng
B. 11625 .
C. 8425 .
D. 6225 .
Trả lời

Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1;−1;2) và bán kính R=3 .
Khi đó IM=5>R⇒M nằm ngoài mặt cầu.
Phương trình đường thẳng MI là {x=1x=−1+4tz=2−3t .
Tâm J(a;b;c) nằm trên MI nên J(1;−1+4t;2−3t) .
Xét ΔMHI vuông tại H có
MI=5; IH=3⇒MH=√MI2−HI2=4
Mặt khác {M(1;3;−1)J(1;−1+4t;2−3t)⇒MJ=√(−4+4t)2+(3−3t)2 .
MJ.MI=MH2⇒MJ=165⇔(−4+4t)2+(3−2t)2=25625⇔25t2−50t+36925=0⇔[t=925t=4125
Suy ra J(1;1125;2325) hoặc J(1;13925;−7325) .
+) Với J(1;1125;2325) thì IJ=95<IM (nhận).
+) Với J(1;13925;−7325) thì IJ=415>IM (loại).
Vậy J(1;1125;2325) nên 2a+b+c=8425 .
Chọn C.