Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm P,Q,R lần lượt di động
65
23/04/2024
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm P,Q,R lần lượt di động trên ba trục tọa độ Ox,Oy,Oz (không trùng với gốc tọa độ O) sao cho 1OP2+1OQ2+1OR2=18 . Biết mặt phẳng (PQR) luôn tiếp xúc với mặt cầu (S) cố định. Đường thẳng (d) thay đổi nhưng luôn đi qua M(12;√32;0) và cắt (S) tại hai điểm A,B phân biệt. Diện tích lớn nhất của ΔAOB là
B. √5 .
C. √17 .
D. √7 .
Trả lời

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên mặt phẳng (PQR) .
Dễ thấy 1OH2=1OP2+1OQ2+1OR2⇒1OH2=18⇒OH=2√2 .
Khi đó (PQR) luôn tiếp xúc với mặt cầu (S) tâm O, bán kính R=2√2 .
Ta có OM=√14+34+0=1<R nên điểm M nằm trong mặt cầu (S) .
Gọi I là trung điểm của AB, do ΔOAB cân tại O nên SΔOAB=12OI.AB .
Đặt OI=x . Vì OI≤OM nên 0<x≤1 và AB=2√8−x2 .
Ta có SΔOAB=12x.2√8−x2=x√8−x2=√8x2−x4 .
Xét hàm số f(x)=8x2−x4, 0<x≤1 .
Vì f' với mọi nên .
Suy ra diện tích của lớn nhất bằng đạt được khi M là trung điểm của AB.
Chọn D.