A. $\frac{x+3}{1}=\frac{y-3}{4}=\frac{z+3}{6}$ .

Mặt cầu $\left(S\right)$  có tâm $I\left(2;3;5\right)$  và bán kính $R=10$ .

Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(2;-2;1\right)$ .

Gọi $H,K$  lần lượt là hình chiếu vuông góc của I lên $∆$ và mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ .

$\Rightarrow IK\perp \left(\alpha \right)$ nên phương trình đường thẳng IK đi qua I và vuông góc với mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  là $\left\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=3-2t\\ z=5+t\end{array}\right.$ .

Tọa độ điểm K là nghiệm hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=3-2t\\ z=5+t\\ 2x-2y+z+15=0\end{array}\right.\Rightarrow K\left(-2;7;3\right)$ .

Vì $\Delta \subset \left(\alpha \right)$  nên $IH\ge IK$ . Do đó IH nhỏ nhất khi H trùng với K.

Để MN lớn nhất thì IH   phải nhỏ nhất.

Khi đó đường thẳng $∆$ cần tìm đi qua A và K. Ta có $\overrightarrow{AK}=\left(1;4;6\right)$ .

Đường thẳng $∆$ có phương trình là: $\frac{x+3}{1}=\frac{y-3}{4}=\frac{z+3}{6}$ .

Chọn A.