Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d): (x+2)/4=(y-1)/-4=(z+2)/3  và

Trả lời

Mặt phẳng $\left(P\right)$  có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(2;-1;2\right)$ ; đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{v}=\left(4;-4;3\right)$ .

$\Delta \text{//}\left(P\right)\Rightarrow \overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{n}\iff 2m-n+2=0\iff n=2m+2$

Mặt khác ta có: $\cos \left(\widehat{\Delta ;d}\right)=\frac{\left|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|\left|\overrightarrow{v}\right|}=\frac{\left|4m-4n+3\right|}{\sqrt{m^2+n^2+1}.\sqrt{4^2+{\left(-4\right)}^2+3^2}}$

$=\frac{\left|4m+5\right|}{\sqrt{41\left(5m^2+8m+5\right)}}=\frac{1}{\sqrt{41}}.\sqrt{\frac{{\left(4m+5\right)}^2}{5m^2+8m+5}}=\frac{1}{\sqrt{41}}.\sqrt{\frac{16m^2+40m+25}{5m^2+8m+5}}$

Vì $0°\le \left(\widehat{\Delta ,d}\right)\le 90°$  nên $\left(\widehat{\Delta ,d}\right)$  bé nhất khi và chỉ khi $\cos \left(\widehat{\Delta ,d}\right)$  lớn nhất.

Xét hàm số $f\left(t\right)=\frac{16t^2+40t+25}{5t^2+8t+5}\Rightarrow f^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{-72t^2-90t}{{\left(5t^2+8t+5\right)}^2}$ .

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có: $\max f\left(t\right)=f\left(0\right)=5$ .

Suy ra $\left(\widehat{\Delta ,d}\right)$  bé nhất khi $m=0\Rightarrow n=2$ .

Do đó $T=m^2-n^2=-4$ .

Chọn D.