Câu hỏi:
29/12/2023 92Cho \({\left( {x\sqrt x + \frac{1}{{{x^4}}}} \right)^n}\)với x > 0 và \(C_n^2 - C_n^1 = 2\). Số hạng có số mũ thấp nhất của khai triển là:
A.\(\frac{{\sqrt x }}{{{x^{11}}}}\);
B. 4\(\frac{{\sqrt x }}{{{x^{11}}}}\);
C.\(\frac{1}{{{x^{16}}}}\);
D. 4\(\frac{1}{{{x^5}}}\).
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(C_n^2 - C_n^1 = 2\)
\( \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!.(n - 2)!}} - \frac{{n!}}{{1!.(n - 1)!}} = 2\)
\( \Leftrightarrow \frac{{n(n - 1)(n - 2)!}}{{2.(n - 2)!}} - \frac{{n(n - 1)!}}{{(n - 1)!}} = 2\)
\( \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} - n = 2\)
\( \Leftrightarrow n(n - 1) - 2n - 4 = 0\)
\( \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 4 = 0\)
Suy ra n = 4 hoặc n = – 1 (loại).
Với n = 4, ta có:
\({\left( {x\sqrt x + \frac{1}{{{x^4}}}} \right)^4}\)
= \[C_4^0.{\left( {x\sqrt x } \right)^4} + C_4^1.{\left( {x\sqrt x } \right)^3}.\frac{1}{{{x^4}}} + C_4^2.{\left( {x\sqrt x } \right)^2}.{\left( {\frac{1}{{{x^4}}}} \right)^2}\]
\[ + C_4^3.\left( {x\sqrt x } \right).{\left( {\frac{1}{{{x^4}}}} \right)^3} + C_4^4.{\left( {\frac{1}{{{x^4}}}} \right)^4}\]
= \[{x^6} + 4.{x^4}.\sqrt x .\frac{1}{{{x^4}}} + 6.{x^3}.\frac{1}{{{x^8}}}\]\[ + 4\left( {x\sqrt x } \right).\frac{1}{{{x^{12}}}} + \frac{1}{{{x^{16}}}}\]
= \[{x^6} + 4.\sqrt x . + 6.\frac{1}{{{x^5}}}\]\[ + 4.\frac{{\sqrt x }}{{{x^{11}}}} + \frac{1}{{{x^{16}}}}\]
Số hạng có số mũ thấp nhất của khai triển là \(\frac{1}{{{x^{16}}}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(C_n^2 - C_n^1 = 2\)
\( \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!.(n - 2)!}} - \frac{{n!}}{{1!.(n - 1)!}} = 2\)
\( \Leftrightarrow \frac{{n(n - 1)(n - 2)!}}{{2.(n - 2)!}} - \frac{{n(n - 1)!}}{{(n - 1)!}} = 2\)
\( \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} - n = 2\)
\( \Leftrightarrow n(n - 1) - 2n - 4 = 0\)
\( \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 4 = 0\)
Suy ra n = 4 hoặc n = – 1 (loại).
Với n = 4, ta có:
\({\left( {x\sqrt x + \frac{1}{{{x^4}}}} \right)^4}\)
= \[C_4^0.{\left( {x\sqrt x } \right)^4} + C_4^1.{\left( {x\sqrt x } \right)^3}.\frac{1}{{{x^4}}} + C_4^2.{\left( {x\sqrt x } \right)^2}.{\left( {\frac{1}{{{x^4}}}} \right)^2}\]
\[ + C_4^3.\left( {x\sqrt x } \right).{\left( {\frac{1}{{{x^4}}}} \right)^3} + C_4^4.{\left( {\frac{1}{{{x^4}}}} \right)^4}\]
= \[{x^6} + 4.{x^4}.\sqrt x .\frac{1}{{{x^4}}} + 6.{x^3}.\frac{1}{{{x^8}}}\]\[ + 4\left( {x\sqrt x } \right).\frac{1}{{{x^{12}}}} + \frac{1}{{{x^{16}}}}\]
= \[{x^6} + 4.\sqrt x . + 6.\frac{1}{{{x^5}}}\]\[ + 4.\frac{{\sqrt x }}{{{x^{11}}}} + \frac{1}{{{x^{16}}}}\]
Số hạng có số mũ thấp nhất của khai triển là \(\frac{1}{{{x^{16}}}}\).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Gọi Tk là số hạng thứ k trong khai triển (x3 + 2y2)5 mà số mũ của x và y bằng nhau. Hệ số của Tk là:
Câu 3:
Cho n > 2 là số nguyên dương thỏa mãn \(3C_n^2 + 2A_n^2 = 3{n^2} - 5.\) Số hạng không chứa x trong khai triển \({\left( {2{x^3} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)^n},x \ne 0.\)
Câu 4:
Khai triển \({(\sqrt 3 - \sqrt[4]{5})^5}\). Tổng các số hạng hữu tỉ trong khai triển trên?
