Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau: a) d: y – 1 = 0 và k: x – y + 4 = 0

Bài 7.11 trang 38 SBT Toán 10 Tập 2: Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a) d: y – 1 = 0 và k: x – y + 4 = 0;

b) $a:\left\{\begin{array}{c}x=3+t\\ y=2t\end{array}\right.$  và b: 3x + y + 1 = 0;

c) $m:\left\{\begin{array}{c}x=1-t\\ y=2-\sqrt{3}t\end{array}\right.$ và $n:\left\{\begin{array}{c}x=4-t\text{'}\\ y=\sqrt{3}t\text{'}\end{array}\right.$ .

Trả lời

a)

Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng d và k. Từ giả thiết ta có $\overrightarrow{n_d}=\left(0;1\right),\overrightarrow{n_k}=\left(1;-1\right)$ . Do đó, theo công thức tính góc của hai đường thẳng thì

$\cos \phi =\left|\cos \left(\overrightarrow{n_d},\overrightarrow{n_k}\right)\right|=\frac{\left|\overrightarrow{n_d}.\overrightarrow{n_k}\right|}{\left|\overrightarrow{n_d}\right|\left|\overrightarrow{n_k}\right|}$$=\frac{\left|0.1+1.\left(-1\right)\right|}{\sqrt{0^2+1^2}.\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

$\Rightarrow \phi =45°$

Vậy góc giữa hai đường thẳng là φ = 45°.

b)

Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng a và b. Từ giả thiết ta có $\overrightarrow{u_a}=\left(1;2\right),\overrightarrow{n_b}=\left(3;1\right)$

nên $\overrightarrow{u_b}=\left(1;-3\right)$ . Do đó, theo công thức tính góc của hai đường thẳng thì

$$\begin{gathered} \cos \phi =\left|\cos \left(\overrightarrow{u_a},\overrightarrow{u_b}\right)\right|=\frac{\left|\overrightarrow{u_a}.\overrightarrow{u_b}\right|}{\left|\overrightarrow{u_a}\right|\left|\overrightarrow{u_b}\right|}=\frac{\left|1.1+2.\left(-3\right)\right|}{\sqrt{1^2+2^2}.\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \Rightarrow \phi =45° \end{gathered}$$

Vậy góc giữa hai đường thẳng a và b là φ = 45°.

c)

Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng m và n. Từ giả thiết ta có $\overrightarrow{u_m}=\left(1;\sqrt{3}\right),\overrightarrow{u_n}=\left(-1;\sqrt{3}\right)$.  Do đó theo công thức tính góc giữa hai đường thẳng thì

$$\begin{gathered} \cos \phi =\left|\cos \left(\overrightarrow{u_m},\overrightarrow{u_n}\right)\right|=\frac{\left|\overrightarrow{u_m}.\overrightarrow{u_n}\right|}{\left|\overrightarrow{u_m}\right|\left|\overrightarrow{u_n}\right|}=\frac{\left|1.\left(-1\right)+\sqrt{3}.\sqrt{3}\right|}{\sqrt{1^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}.\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}}=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \phi =60° \end{gathered}$$

Vậy góc giữa hai đường thẳng m và n là φ = 60°.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 6

Bài 19: Phương trình đường thẳng

Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Bài 22: Ba đường conic

Bài tập cuối chương 7