tính đạo hàm của hàm số y = sinx tại điểm x bất kì bằng định nghĩa

Hoạt động 3 trang 65 Toán 11 Tập 2: Bằng cách sử dụng kết quả $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ tính đạo hàm của hàm số y = sinx tại điểm x bất kì bằng định nghĩa

Trả lời

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x bất kì.

Ta có $\Delta y=f\left(x+\Delta x\right)–f\left(x\right)=sin\left(x+\Delta x\right)–sinx=2cos\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\sin \frac{\Delta x}{2}$

Suy ra $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{2cos\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\sin \frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(cos\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\cdot \frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}\right)$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }cos\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\cdot \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }cos\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\cdot \underset{\frac{\Delta x}{2}\to 0}{\lim }\frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}$

$=cos\left(x+\frac{0}{2}\right)\cdot 1=\cos x.$

Vậy đạo hàm của hàm số y = sinx tại điểm x bất kì là y’ = cosx.

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác: