Tính đạo hàm của hàm số f(x)=căn x  tại điểm x0 = 1 bằng định nghĩa

Hoạt động 2 trang 65 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{x}$ tại điểm x₀ = 1 bằng định nghĩa

Trả lời

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x₀ = 1.

Ta có $\Delta y=f\left(1+\Delta x\right)-f\left(1\right)=\sqrt{1+\Delta x}-\sqrt{1}=\sqrt{1+\Delta x}-1$

Suy ra $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+\Delta x}-1}{\Delta x}$

             $=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\left(\sqrt{1+\Delta x}-1\right)\left(\sqrt{1+\Delta x}+1\right)}{\Delta x\left(\sqrt{1+\Delta x}+1\right)}$

             $=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{1+\Delta x-1}{\Delta x\left(\sqrt{1+\Delta x}+1\right)}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta x}{\Delta x\left(\sqrt{1+\Delta x}+1\right)}$

              $=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{1+\Delta x}+1}=\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{1}{2}.$

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác: