Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = tanx tại điểm x bất kì

Hoạt động 5 trang 66 Toán 11 Tập 2: Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = tanx tại điểm x bất kì, $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$(k ∈ ℤ)

Trả lời

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x bất kì, $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$(k ∈ ℤ)

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = tan(x + ∆x) – tanx.

Suy ra $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{tan\left(x+\Delta x\right)–tanx}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\frac{\sin \left(x+\Delta x\right)}{\cos \left(x+\Delta x\right)}-\frac{\sin x}{\cos x}}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin \left(x+\Delta x\right)\cos x-\cos \left(x+\Delta x\right)\sin x}{\Delta x\cdot \cos \left(x+\Delta x\right)\cos x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin \left(x+\Delta x-x\right)}{\Delta x\cdot \cos \left(x+\Delta x\right)\cos x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin \Delta x}{\Delta x\cdot \cos \left(x+\Delta x\right)\cos x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin \Delta x}{\Delta x}\cdot \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{1}{\cos \left(x+\Delta x\right)\cos x}$

$=1\cdot \frac{1}{\cos \left(x+0\right)\cos x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}.$

Vậy đạo hàm của hàm số y = tanx tại điểm x bất kì, $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$(k ∈ ℤ) là $y\text{'}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}.$

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác: