Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = cosx tại điểm x bất kì

Hoạt động 4 trang 65 Toán 11 Tập 2: Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = cosx tại điểm x bất kì

Trả lời

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x bất kì.

Ta có $\Delta y=f\left(x+\Delta x\right)–f\left(x\right)=cos\left(x+\Delta x\right)–cosx=-2\sin \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\sin \frac{\Delta x}{2}$

Suy ra $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{-2\sin \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\sin \frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}$

 $=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(-\sin \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\cdot \frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}\right)$

$=-\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\sin \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\cdot \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}$

$=-\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\sin \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\cdot \underset{\frac{\Delta x}{2}\to 0}{\lim }\frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}$

$=-\sin \left(x+\frac{0}{2}\right)\cdot 1=-\sin x.$

Vậy đạo hàm của hàm số y = cosx tại điểm x bất kì là y’ = –sinx.

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác: