Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x³ tại điểm x bất kì bằng định nghĩa.

⦁ Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x.

Ta có ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = (x + ∆x)³ – x³

              = x³ + 3x²∆x + 3x(∆x)² + (∆x)³ – x³

              = 3x²∆x + 3x(∆x)² + (∆x)³

              = ∆x[3x² + 3x∆x + (∆x)²]

Suy ra $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta x\left[3x^2+3x\Delta x+{\left(\Delta x\right)}^2\right]}{\Delta x}=3x^2+3x\Delta x+{\left(\Delta x\right)}^2.$

⦁ Ta thấy $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left[3x^2+3x\cdot \Delta x+{\left(\Delta x\right)}^2\right]=3x^2+3\Delta x\cdot 0+0^2=3x^2.$ 

Vậy f’(x) = 3x².