Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x³ – 1 tại điểm x₀ = 1 bằng định nghĩa.

⦁ Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x₀ = 1.

Ta có ∆y = f(1 + ∆x) – f(1) = 3(1 + ∆x)³ – 1 – (3.1³ – 1)

              = 3 + 9∆x + 9.(∆x)² + 3(∆x)³ – 1 – 2

              = 9∆x + 9.(∆x)² + 3(∆x)³

              = ∆x[9 + 9∆x + 3(∆x)²].

Suy ra $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta x\left[9+9\Delta x+3{\left(\Delta x\right)}^2\right]}{\Delta x}=9+9\Delta x+3{\left(\Delta x\right)}^2.$

⦁ Ta thấy $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left[9+9\Delta x+3{\left(\Delta x\right)}^2\right]=9+9\cdot 0+3\cdot 0^2=9.$