Tính đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau

Bài 2 trang 75 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

a) y = 3x² – 4x + 5 tại điểm x₀ = –2;

b) y = log₃(2x + 1) tại điểm x₀ = 3;

c) y = e^{4x + 3} tại điểm x₀ = 1;

d) $y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$ tại điểm $x_0=\frac{\pi }{6};$

e) $y=\cos \left(3x-\frac{\pi }{6}\right)$ tại điểm x₀ = 0.

Trả lời

a) Xét hàm số y = 3x² – 4x + 5, ta có:

y' = 6x – 4;

y'' = 6.

Do đó: y''(–2) = 6.

b) Xét hàm số y = log₃(2x + 1), ta có:

$y^{\text{'}}={\left[lo{g}_3\left(2x+1\right)\right]}^{\text{'}}=\frac{{\left(2x+1\right)}^{\text{'}}}{\left(2x+1\right)\ln 3}=\frac{2}{\left(2x+1\right)\ln 3};$

$y^{\text{'}\text{'}}={\left[\frac{2}{\left(2x+1\right)\ln 3}\right]}^{\text{'}}=\frac{-2\cdot {\left[\left(2x+1\right)\ln 3\right]}^{\text{'}}}{{\left[\left(2x+3\right)\ln 3\right]}^2}$$=\frac{-2\ln 3\cdot 2}{{\left(2x+3\right)}^2{\ln }^{2}3}=\frac{-4}{{\left(2x+3\right)}^2\ln 3}.$

Do đó:  $y^{\text{'}\text{'}}\left(3\right)=\frac{-4}{{\left(2\cdot 3+3\right)}^2\ln 3}=\frac{-4}{7^2\cdot \ln 3}=\frac{-4}{49\ln 3}$

c) Xét hàm số y = e^{4x + 3}, ta có:

y' = (e^{4x + 3})' = (4x + 3)'. e^{4x + 3} =  4e^{4x + 3};

y'' = (4e^{4x + 3})' = 4.(4x + 3)'.e^{4x + 3} = 16e^{4x + 3}.

Do đó: y''(1) = 16e^{4.1 + 3} = 16e⁷.

d) Xét hàm số $y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right),$ta có:

$y^{\text{'}}={\left[\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)\right]}^{\text{'}}={\left(2x+\frac{\pi }{3}\right)}^{\text{'}}\cdot \cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=2\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right);$

$y^{\text{'}\text{'}}={\left[2\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)\right]}^{\text{'}}=2\cdot {\left(2x+\frac{\pi }{3}\right)}^{\text{'}}\cdot \left[-\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)\right]=-4\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right).$

 $y^{\text{'}\text{'}}\left(\frac{\pi }{6}\right)=-4\sin \left(2\cdot \frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}\right)=-4\sin \frac{2\pi }{3}=-4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-2\sqrt{3}.$

e) Xét hàm số $y=\cos \left(3x-\frac{\pi }{6}\right),$ ta có:

 $y^{\text{'}}=\left[\cos \left(3x-\frac{\pi }{6}\right)\right]={\left(3x-\frac{\pi }{6}\right)}^{\text{'}}\cdot \left[-\sin \left(3x-\frac{\pi }{6}\right)\right]=-3\sin \left(3x-\frac{\pi }{6}\right);$

$y^{\text{'}\text{'}}={\left[-3\sin \left(3x-\frac{\pi }{6}\right)\right]}^{\text{'}}=-3{\left(3x-\frac{\pi }{6}\right)}^{\text{'}}\cdot \cos \left(3x-\frac{\pi }{6}\right)=-9\cos \left(3x-\frac{\pi }{6}\right).$

Do đó:  $y^{\text{'}\text{'}}\left(0\right)=-9\cos \left(0-\frac{\pi }{6}\right)=-9\cos \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-9\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{-9\sqrt{3}}{2}.$

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác: