Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau: a) y = 2x^4 – 3x^3 + 5x^2

Bài 4 trang 76 Toán 11 Tập 2: Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

a) y = 2x⁴ – 3x³ + 5x²;           b) $y=\frac{2}{3-x};$              c) y = sin2xcosx;

d) y = e^–2x+3;                           e) y = ln(x + 1);              g) y = ln(e^x + 1).

Trả lời

a) Xét hàm số y = 2x⁴ – 3x³ + 5x², ta có:

y' = 8x³ – 9x² + 10x;

y'' = 24x² – 18x + 10.

b) Xét hàm số $y=\frac{2}{3-x},$ ta có:

$y^{\text{'}}={\left(\frac{2}{3-x}\right)}^{\text{'}}=-\frac{2\cdot {\left(3-x\right)}^{\text{'}}}{{\left(3-x\right)}^2}=-\frac{2\cdot \left(-1\right)}{{\left(3-x\right)}^2}=\frac{2}{{\left(3-x\right)}^2};$

$y^{\text{'}\text{'}}={\left[\frac{2}{{\left(3-x\right)}^2}\right]}^{\text{'}}=-\frac{2\cdot {\left[{\left(3-x\right)}^2\right]}^{\text{'}}}{{\left(3-x\right)}^4}=-\frac{2\cdot 2\cdot \left(3-x\right)\cdot {\left(3-x\right)}^{\text{'}}}{{\left(3-x\right)}^4}=\frac{-4\cdot \left(-1\right)}{{\left(3-x\right)}^3}=\frac{4}{{\left(3-x\right)}^3}.$

c) Xét hàm số y = sin2xcosx, ta có:

y' = (sin2xcosx)' = (sin2x)'.cosx + sin2x.(cosx)'

    = 2cos2x.cosx – sin2x.sinx

$=2\cdot \frac{1}{2}\left(\cos x+\cos 3x\right)-\frac{1}{2}\left(\cos x-\cos 3x\right)$

$=\cos x+\cos 3x-\frac{1}{2}\cos x+\frac{1}{2}\cos 3x$

$=\frac{1}{2}\cos x+\frac{3}{2}\cos 3x.$

${y^{\text{'}}}^{\text{'}}={\left(\frac{1}{2}\cos x+\frac{3}{2}\cos 3x\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{2}\left(-\sin x\right)+\frac{3}{2}\cdot 3\cdot \left(-\sin 3x\right)=-\frac{1}{2}\sin x-\frac{9}{2}\sin 3x.$

d) Xét hàm số y = e^{–2x + 3}, ta có:

y' = (e^{–2x + 3})' = (–2x + 3)' . e^{–2x + 3} = –2e^–2x+3;

y'' = (–2e^–2x+3)' = –2.(–2x + 3)'.e^–2x+3 = 4e^–2x+3.

e) Xét hàm số y = ln(x + 1), ta có:

$y^{\text{'}}={\left[ln\left(x+1\right)\right]}^{\text{'}}=\frac{{\left(x+1\right)}^{\text{'}}}{x+1}=\frac{1}{x+1};$

${y^{\text{'}}}^{\text{'}}={\left(\frac{1}{x+1}\right)}^{\text{'}}=-\frac{{\left(x+1\right)}^{\text{'}}}{{\left(x+1\right)}^2}=-\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}.$

g) Xét hàm số y = ln(e^x + 1), ta có:

$y^{\text{'}}={\left[ln\left(e^x+1\right)\right]}^{\text{'}}=\frac{{\left(e^x+1\right)}^{\text{'}}}{e^x+1}=\frac{e^x}{e^x+1};$

${y^{\text{'}}}^{\text{'}}={\left(\frac{e^x}{e^x+1}\right)}^{\text{'}}=\frac{{\left(e^x\right)}^{\text{'}}\cdot \left(e^x+1\right)-e^x\cdot {\left(e^x+1\right)}^{\text{'}}}{{\left(e^x+1\right)}^2}$

$=\frac{e^x\cdot \left(e^x+1\right)-e^x\cdot e^x}{{\left(e^x+1\right)}^2}=\frac{e^{2x}+e^x-e^{2x}}{{\left(e^x+1\right)}^2}=\frac{e^x}{{\left(e^x+1\right)}^2}.$

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác: