Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát, có phương trình chuyển động

Bài 6 trang 76 Toán 11 Tập 2: Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát, có phương trình chuyển động $x=4\cos \left(\pi t-\frac{2\pi }{3}\right)+\mathrm{3,}$ trong đó t tính bằng giây và x tính bằng centimet.

a) Tìm vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của con lắc tại thời điểm t (s).

b) Tìm thời điểm mà vận tốc tức thời của con lắc bằng 0.

Trả lời

a) Vận tốc tức thời của con lắc là:

$v\left(t\right)={\left[4\cos \left(\pi t-\frac{2\pi }{3}\right)+3\right]}^{\text{'}}=4\cdot {\left(\pi t-\frac{2\pi }{3}\right)}^{\text{'}}\cdot \left[-\sin \left(\pi t-\frac{2\pi }{3}\right)\right]=-4\pi \sin \left(\pi t-\frac{2\pi }{3}\right).$

Gia tốc tức thời của con lắc là:

$a\left(t\right)={\left[-4\pi \sin \left(\pi t-\frac{2\pi }{3}\right)\right]}^{\text{'}}=-4\pi \cdot {\left(\pi t-\frac{2\pi }{3}\right)}^{\text{'}}\cdot \cos \left(\pi t-\frac{2\pi }{3}\right)=-4{\pi }^2\cos \left(\pi t-\frac{2\pi }{3}\right).$

b) Để vận tốc tức thời của con lắc bằng 0 thì

$-4\pi \sin \left(\pi t-\frac{2\pi }{3}\right)=0$

$\iff \sin \left(\pi t-\frac{2\pi }{3}\right)=0$

$\iff \pi t-\frac{2\pi }{3}=k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff t-\frac{2}{3}=k\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff t=k+\frac{2}{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Ta có t > 0 nên $k+\frac{2}{3}>\mathrm{0,}$ tức $k>-\frac{2}{3}$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; …} hay k ∈ ℕ*.

Vậy tại thời điểm $t=k+\frac{2}{3}\left(k\in \mathbb{N}*\right)$ thì vận tốc tức thời của con lắc bằng 0.

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác: