Tìm các giá trị m để hàm số $y=-x^3+2x^2+2mx-1$  đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 2.

Tập xác định $D=ℝ$ .

Ta có  $y^{\text{'}}=-3x^2+4x+2m$

Vì $a=-3<0$  nên hàm số đã cho đồng biến trên một đoạn khi và chỉ khi phương trình $y^{\text{'}}=0$  có hai nghiệm phân biệt  $\iff {\Delta }^{\text{'}}>0$

 $\iff 4+6m>0\iff m>-\frac{2}{3}$

Theo định lý Vi-ét, ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{4}{3}\\ x_1{x}_2=-\frac{2m}{3}\end{array}\right.$

Để hàm số đã cho đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 2 thì 

 $\left|x_1-x_2\right|=2\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2=4$

$\iff \frac{16}{9}+\frac{8m}{3}=4\iff m=\frac{5}{6}$