Thâm niên công tác của các công nhân hai nhà máy A và B. a) Hãy so sánh thâm niên công tác

Bài 3 trang 158 SBT Toán 11 Tập 1: Thâm niên công tác của các công nhân hai nhà máy A và B.

a) Hãy so sánh thâm niên công tác của nhân viên hai nhà máy theo số trung bình và trung vị.

b) Hãy ước lượng tứ phân vị thứ nhất và thứ ba của hai mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Trả lời

a) Bảng tần số ghép nhóm bao gồm giá trị đại diện của các nhóm như sau:

Trung bình số năm thâm niên của công nhân nhà máy A là:

${\overline{x}}_A=\frac{2,5\cdot 35+7,5\cdot 13+12,5\cdot 12+17,5\cdot 12+22,5\cdot 8}{35+13+12+12+8}$ = $\frac{145}{16}$ = 9,0625 (năm).

Trung bình số năm thâm niên của công nhân nhà máy B là:

${\overline{x}}_B=\frac{2,5\cdot 14+7,5\cdot 26+12,5\cdot 24+17,5\cdot 11+22,5\cdot 5}{14+26+24+11+5}$ = $\frac{167}{16}$ = 10,4375 (năm).

Suy ra ${\overline{x}}_A<{\overline{x}}_B$.

Vậy nếu so sánh theo số trung bình (năm) thì thâm niên công tác của nhân viên công ty A ngắn hơn thâm niên công tác của nhân viên công ty B.

• Nhà máy A

Gọi x₁; x₂; x₃; ...; x₈₀ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có:

x₁, ..., x₃₅ ∈ [0; 5); x₃₆, ..., x₄₈ ∈ [5; 10); x₄₉, ..., x₆₀ ∈ [10; 15);

x₆₁, ..., x₇₂ ∈ [15; 20); x₇₃, ..., x₈₀ ∈ [20; 25).

Cỡ mẫu n = 80 là số chẵn nên trung vị $M_e\left(A\right)=\frac{1}{2}\left(x_{40}+x_{41}\right)$. Do x₄₀ và x₄₁ thuộc nhóm [5; 10) nên trung vị của mẫu số liệu là

$M_e\left(A\right)=5+\frac{\frac{80}{2}-\left(35+0\right)}{13}\cdot \left(10-5\right)=\frac{90}{13}$.

• Nhà máy B

Gọi x₁; x₂; x₃; ...; x₈₀ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có:

x₁, ..., x₁₄ ∈ [0; 5); x₁₅, ..., x₄₀ ∈ [5; 10); x₄₁, ..., x₆₄ ∈ [10; 15);

x₆₅, ..., x₇₅ ∈ [15; 20); x₇₆, ..., x₈₀ ∈ [20; 25).

Cỡ mẫu n = 80 là số chẵn nên trung vị $M_e\left(B\right)=\frac{1}{2}\left(x_{40}+x_{41}\right)$. Do x₄₀ thuộc nhóm [5; 10) và x₄₁ thuộc nhóm [10; 15) nên ta có M_e(B) = 10.

Suy ra M_e(A) < M_e(B).

Vậy nếu so sánh theo trung vị thì thâm niên công tác của nhân viên công ty A ngắn hơn thâm niên công tác của nhân viên công ty B.

b) • Nhà máy A

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu x₁; x₂; x₃;...; x₈₀ là $\frac{1}{2}\left(x_{20}+x_{21}\right)$. Do x₂₀ và x₂₁ thuộc nhóm [0; 5) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là.

$Q_1=0+\frac{\frac{80}{4}-0}{35}\cdot \left(5-0\right)=\frac{20}{7}$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu x₁; x₂; x₃;...; x₈₀ là $\frac{1}{2}\left(x_{60}+x_{61}\right)$. Do x₆₀ thuộc nhóm [10; 15) và x₆₁ thuộc nhóm [15; 20) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là Q₃ = 15.

• Nhà máy B

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu x₁; x₂; x₃;...; x₈₀ là $\frac{1}{2}\left(x_{20}+x_{21}\right)$. Do x₂₀ và x₂₁ thuộc nhóm [5; 10) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

$Q_1=5+\frac{\frac{80}{4}-14}{26}\cdot \left(10-5\right)=\frac{80}{13}$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu x₁; x₂; x₃;...; x₈₀ là $\frac{1}{2}\left(x_{60}+x_{61}\right)$. Do x₆₀ và x₆₁ thuộc nhóm [10; 15) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là

$Q_3=10+\frac{\frac{3\cdot 80}{4}-\left(14+26\right)}{24}\cdot \left(15-10\right)=\frac{85}{6}$.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: