Kết quả kiểm tra cân nặng của một số quả trứng chim cút được lựa chọn ngẫu nhiên

Bài 5 trang 159 SBT Toán 11 Tập 1: Kết quả kiểm tra cân nặng của một số quả trứng chim cút được lựa chọn ngẫu nhiên ở hai trang trại chăn nuôi A và B được biểu diễn ở biểu đồ sau (đơn vị: g).

a) Hãy so sánh cân nặng của trứng chim cút của hai trang trại A và B theo số trung bình và trung vị.

b) Hãy ước lượng tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba của cân nặng trứng chim cút của trang trại A.

Trả lời

a) Từ biểu đồ đã cho, ta lập được bảng số liệu ghép nhóm sau:

Từ đó, ta có bảng thống kê số quả trứng chim cút của hai trang trại theo giá trị đại diện như sau:

⦁ Đối với trang trại A: Cỡ mẫu n_A = 89.

Cân nặng trung bình của mỗi quả trứng của mẫu số liệu ghép nhóm là

${\overline{x}}_A=\frac{8,3\cdot 7+8,5\cdot 18+8,7\cdot 34+8,9\cdot 21+9,1\cdot 9}{89}=\frac{7757}{890}\approx 8,72$ (g).

Gọi x₁; x₂; x₃;...; x₈₉ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có:

x₁, ..., x₇ ∈ [8,2; 8,4); x₈, ..., x₂₅ ∈ [8,4; 8,6); x₂₆, ..., x₅₉ ∈ [8,6; 8,8);

x₆₀, ..., x₈₀ ∈ [8,8; 9,0); x₈₁, ..., x₈₉ ∈ [9,0; 9,2).

Cỡ mẫu n = 89 là số lẻ nên trung vị M_e = x₄₅. Do x₄₅ thuộc nhóm [8,6; 8,8) nên trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

$M_e\left(A\right)=8,6+\frac{\frac{89}{2}-\left(7+18\right)}{34}\cdot \left(8,8-8,6\right)=\frac{2963}{340}\approx 8,71$ (g).

⦁ Đối với trang trại B: Cỡ mẫu n_B = 73.

Cân nặng trung bình của mỗi quả trứng của mẫu số liệu ghép nhóm là

${\overline{x}}_B=\frac{8,3\cdot 15+8,5\cdot 37+8,7\cdot 12+8,9\cdot 7+9,1\cdot 2}{73}=\frac{6239}{730}\approx 8,55$ (g).

Gọi x₁; x₂; x₃; ...; x₇₃ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có:

x₁, ..., x₁₅ ∈ [8,2; 8,4); x₁₆, ..., x₅₂ ∈ [8,4; 8,6); x₅₃, ..., x₆₄ ∈ [8,6; 8,8);

x₆₅, ..., x₇₁ ∈ [8,8; 9,0); x₇₂, x₇₃ ∈ [9,0; 9,2).

Cỡ mẫu n = 73 là số lẻ nên trung vị M_e = x₃₇. Do x₃₇ thuộc nhóm [8,4; 8,6) nên trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

$M_e\left(B\right)=8,4+\frac{\frac{73}{2}-15}{37}\cdot \left(8,6-8,4\right)=\frac{3151}{370}\approx 8,52$ (g).

Ta thấy ${\overline{x}}_A>{\overline{x}}_B$ và M_e (A) > M_e (B).

Vậy khi so sánh theo số trung bình hay theo trung vị, cân nặng của trứng chim cút của trang trại A đều lớn hơn cân nặng của trứng chim cút của trang trại B.

b) Đối với trang trại A:

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu x₁; x₂; x₃;...; x₈₉ là $\frac{1}{2}\left(x_{22}+x_{23}\right)$. Do x_22­ và x₂₃ thuộc nhóm [8,4; 8,6) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

$Q_1\left(A\right)=8,4+\frac{\frac{89}{4}-7}{18}\cdot \left(8,6-8,4\right)=\frac{617}{72}\approx 8,57$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu x₁; x₂; x₃;...; x₈₉ là $\frac{1}{2}\left(x_{66}+x_{67}\right)$. Do x_66­ và x₆₇ thuộc nhóm [8,8; 9,0), nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là

$Q_3\left(A\right)=8,8+\frac{\frac{3\cdot 89}{4}-\left(7+18+34\right)}{21}\cdot \left(9,0-8,8\right)=\frac{3727}{420}\approx 8,87$.