Quãng đường rơi tự do của một vật được biểu diễn bởi công thức s(t) = 4,9t² với t là thời gian tính bằng giây và s tính bằng mét.

Vận tốc trung bình của chuyển động này trên khoảng thời gian [5; t] hoặc [t; 5] được tính bằng công thức $\frac{s\left(t\right)-s\left(5\right)}{t-5}$.

a) Hoàn thiện bảng sau về vận tốc trung bình trong những khoảng thời gian khác nhau. Nêu nhận xét về $\frac{s\left(t\right)-s\left(5\right)}{t-5}$ khi t càng gần 5.

b) Giới hạn $\underset{t\to 5}{\lim }\frac{s\left(t\right)-s\left(5\right)}{t-5}$ được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t₀ = 5. Tính giá trị này.

c) Tính giới hạn $\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{s\left(t\right)-s\left(t_0\right)}{t-t_0}$ để xác định vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điềm t₀ nào đó trong quá trình rơi của vật.

a) • Với t ∈ [5; 5,1], chọn t = 5,1 ta có:

$\frac{s\left(t\right)-s\left(5\right)}{t-5}=\frac{4,9.5,1^2-4,9.5^2}{5,1-5}=49,49$.

• Với t ∈ [5; 5,05], chọn t = 5,05 ta có:

$\frac{s\left(t\right)-s\left(5\right)}{t-5}=\frac{4,9.5,{05}^2-4,9.5^2}{5,05-5}=49,245$.

• Với t ∈ [5; 5,01], chọn t = 5,01 ta có:

$\frac{s\left(t\right)-s\left(5\right)}{t-5}=\frac{4,9.5,{01}^2-4,9.5^2}{5,01-5}=49,049$.

• Với t ∈ [5; 5,001], chọn t = 5,001 ta có:

$\frac{s\left(t\right)-s\left(5\right)}{t-5}=\frac{4,9.5,{001}^2-4,9.5^2}{5,001-5}=49,0049$.

• Với t ∈ [4,999; 5], chọn t = 4,999 ta có:

$\frac{s\left(t\right) - s\left(5\right)}{t-5}=\frac{4,9.4,{99}^2-4,9.5^2}{4,999-5}=48,9951$.

• Với t ∈ [4,99; 5], chọn t = 4,99 ta có:

$\frac{s\left(t\right) - s\left(5\right)}{t-5}=\frac{4,9.4,{99}^2-4,9.5^2}{4,99-5}=48,951$.

Từ đó ta có bảng sau:

Ta thấy $\frac{s\left(t\right)-s\left(5\right)}{t-5}$ càng gần 49 khi t càng gần 5.

b) $\underset{t\to 5}{\lim }\frac{s\left(t\right)-s\left(5\right)}{t-5}=\underset{t\to 5}{\lim }\frac{4,9t^2-4,9.5^2}{t-5}$

$=\underset{t\to 5}{\lim }\frac{4,9\left(t^2-5^2\right)}{t-5}=\underset{t\to 5}{\lim }\frac{4,9\left(t-5\right)\left(t+5\right)}{t-5}$

$=\underset{t\to 5}{\lim }4,9\left(t+5\right)=4,9\left(5+5\right)=49.$

c) $\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{s\left(t\right)-s\left(t_0\right)}{t-t_0}=\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{4,9t^2-4,9t_0^2}{t-t_0}$

$=\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{4,9\left(t^2-t_0^2\right)}{t-t_0}=\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{4,9\left(t-t_0\right)\left(t+t_0\right)}{t-t_0}$

$=\underset{t\to t_0}{\lim }4,9\left(t+t_0\right)=4,9\left(t_0+t_0\right)=9,8t_0.$