Xét hàm số y = S(x) = – 2x2 + 20x (0 < x < 10).
b) Quan sát dạng đồ thị của hàm số y = – 2x2 + 20x trong Hình 6.10, tìm tọa độ điểm cao nhất của đồ thị.
c) Thực hiện phép biến đổi
y = – 2x2 + 20x = – 2(x2 – 10x) = – 2(x2 – 2 . 5 . x + 25) + 50 = – 2(x – 5)2 + 50.
Hãy cho biết giá trị lớn nhất của diện tích mảnh đất được rào chắn. Từ đó suy ra lời giải của bài toán ở phần mở đầu.
b) Tọa độ điểm cao nhất của đồ thị hàm số y = – 2x2 + 20x là (5; 50).
c) Vì (x – 5)2 ≥ 0 với mọi số thực x
Nên – 2(x – 5)2 ≤ 0 với mọi số thực x
Do đó: – 2(x – 5)2 + 50 ≤ 0 + 50 = 50 với mọi số thực x.
Vậy y ≤ 50.
Vậy giá trị lớn nhất của y là 50 hay diện tích lớn nhất của mảnh đất được rào chắn là 50 m2.
Từ đó ta có lời giải bài toán mở đầu:
Gọi x (mét, x > 0) là khoảng cách từ điểm cọc P và Q đến bờ tường.
Tấm lưới dài 20 m và được rào chắn như Hình 6.8 nên x + x + PQ = 20.
Suy ra: PQ = 20 – x – x = 20 – 2x (m).
Vì PQ > 0 nên 20 – 2x > 0 ⇔ 2x < 20 ⇔ x < 10.
Vậy ta có điều kiện của x là 0 < x < 10.
Mảnh đất được rào chắn có dạng hình chữ nhật với hai kích thước là x (m) và 20 – 2x (m) với 0 < x < 10.
Diện tích của mảnh đất là S(x) = x . (20 – 2x) = – 2x2 + 20x.
Theo yêu cầu bài toán, ta cần tìm giá trị của x để S(x) lớn nhất.
S(x) = – 2(x2 – 10x) = – 2(x2 – 2 . 5 . x + 25) + 50 = – 2(x – 5)2 + 50 ≤ 50 với mọi số thực x.
Dấu “=” xảy ra khi x – 5 = 0 ⇔ x = 5 (thỏa mãn điều kiện 0 < x < 10).
Do đó giá trị lớn nhất của S(x) là 50 tại x = 5.
Vậy hai cột góc hàng rào cần phải cắm cách bờ tường 5 m để mảnh đất được rào chắn của bác Việt có diện tích lớn nhất.