Dựa vào thông tin mà An đọc được, em hãy tính chiều cao của cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

Hai bạn An và Bình trao đổi với nhau.

An nói: Tớ đọc ở một tài liệu thấy nói rằng cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội (H.6.14) có dạng một parabol, khoảng cách giữa hai chân cổng là 8 m và chiều cao của cổng tính từ một điểm trên mặt đất cách chân cổng 0,5 m là 2,93 m. Từ đó tớ tính ra được chiều cao của cổng parabol đó là 12 m.

Sau một hồi suy nghĩ, Bình nói: Nếu dữ kiện như bạn nói, thì chiều cao của cổng parabol mà bạn tính ra ở trên là không chính xác.

Dựa vào thông tin mà An đọc được, em hãy tính chiều cao của cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội để xem kết quả bạn An tính được có chính xác không nhé!

Trả lời

Cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội có dạng là một parabol, gọi dạng parabol này là y = ax² + bx + c với a ≠ 0.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ với Oy là trục đối xứng của cổng:

Khoảng cách giữa hai chân cổng AB = 8 m.

Vì Oy là trục đối xứng của parabol nên O là trung điểm của AB, do đó AO = OB = 4 m.

Lấy điểm C cách A một khoảng 0,5 m, theo bài ra, chiều cao của cổng tính từ một điểm trên mặt đất cách chân cổng 0,5 m là 2,93 m nên CD = 2,93 m.

CO = AO – AC = 4 – 0,5 = 3,5 m.

Vậy ta xác định được tọa độ các điểm: A(– 4; 0), B(4; 0), C(– 3,5; 0), D(– 3,5; 2,93).

Parabol đi qua các điểm A, B, D nên phương trình y = ax² + bx + c thỏa mãn tọa độ các điểm A, B, D, thay tọa độ các điểm tương ứng ta có:

0 = a . (– 4)² + b . (– 4) + c ⇔ 16a – 4b + c = 0 (1)

0 = a . 4² + b . 4 + c ⇔ 16a + 4b + c = 0 (2)

2,93 = a . (– 3,5)² + b . (– 3,5) + c = 0 ⇔ 12,25a – 3,5b + c = 2,93 (3)

Lấy (2) trừ (1) theo vế ta được 8b = 0 ⇔ b = 0 thay vào (1) và (3) ta có hệ:

$\left\{\begin{array}{l}16a+c=0\\ \mathrm{12,25}a+c=\mathrm{2,93}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{-293}{375}\\ c=\frac{4688}{375}\end{array}\right.$

Vậy parabol $y=\frac{-293}{375}{x}^2+\frac{4688}{375}$ có tọa độ đỉnh I$\left(0;\frac{4688}{375}\right)$.

Chiều cao của cổng parabol là tung độ đỉnh I và bằng $\frac{4688}{375}\approx \mathrm{12,5}$m.

Vậy kết quả của bạn An tính ra là không chính xác.