Gọi (P) là đồ thị hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c. Hãy xác định dấu của hệ số a và biệt thức

Gọi (P) là đồ thị hàm số bậc hai y = ax² + bx + c. Hãy xác định dấu của hệ số a và biệt thức ∆, trong mỗi trường hợp sau:

a) (P) nằm hoàn toàn phía trên trục hoành;

b) (P) nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành;

c) (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và có đỉnh nằm phía dưới trục hoành;

d) (P) tiếp xúc với trục hoành và nằm phía trên trục hoành.

Trả lời

a) Do (P) nằm hoàn toàn phía trên trục hoành nên

- Bề lõm của đồ thị phải quay lên trên, do đó hệ số a > 0.

- Giá trị của hàm số y > 0 nên $-\frac{\Delta }{4a}$ > 0 (vì $-\frac{\Delta }{4a}$ là tung độ của đỉnh), mà a > 0 nên 4a > 0, do đó – ∆ > 0 ⇔ ∆ < 0.

b)  Vì (P) nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên:

- Bề lõm của đồ thị phải quay xuống dưới, do đó hệ số a < 0.

- Giá trị của hàm số y < 0 nên biệt thức $-\frac{\Delta }{4a}$ < 0 (vì $-\frac{\Delta }{4a}$ là tung độ của đỉnh), mà a < 0 nên 4a < 0, do đó – ∆ > 0 ⇔ ∆ < 0.

c) Do (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt nên phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt, vậy biệt thức ∆ > 0.

Lại có (P) có đỉnh nằm phía dưới trục hoành và cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt nên bề lõm của đồ thị phải quay lên trên nên hệ số a > 0.

d) Do (P) tiếp xúc với trục hoành nên phương trình ax² + bx + c = 0 có nghiệm kép, vậy biệt thức ∆ = 0.

Lại có (P) nằm phía trên trục hoành nên bề lõm của đồ thị phải quay lên trên nên hệ số a > 0.