Nghiệm của phương trình cos³x – 4sin³x – 3cosx.sin²x + sinx = 0 là:

A. $\left[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{6}+k\pi \\ x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \end{array}\right.$, k ∈ ℤ;

B. $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{6}+k\pi \\ x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \end{array}\right.$, k ∈ ℤ;

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

cos³x – 4sin³x – 3cosx.sin²x + sinx = 0 (1)

Xét cos x = 0, ta có:

(1) ⇔ – 4sin³x + sinx = 0

⇔ sinx(– 4sin²x + 1) = 0

⇔ sinx(– 2sinx + 1)(1 + 2sinx) = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}\sin x=0\\ \sin x=\frac{1}{2}\\ \sin x=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$   (cả ba đều KTM vì sin²x + cos²x ≠ 1).

Xét cosx ≠ 0 , ta chia cả hai vế của (1) cho cos³x ta được:

1 – 4tan³x – 3tan²x + tanx(1 + tan²x) = 0

⇔ 3tan³x + 3tan²x – tanx – 1 = 0

⇔ (tanx + 1)(3tan² x – 1) = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}\tan x=-1\\ \tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}\\ \tan x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{6}+k\pi \\ x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \end{array}\right.$ , k ∈ ℤ.