Một xưởng sản xuất sử dụng ba loại máy để sản xuất hai loại sản phẩm quần và áo. Để sản xuất 1 cái áo lãi 200 nghìn đồng người ta sử dụng máy I trong 1 giờ, máy II trong 2 giờ và máy III trong 3 giờ. Để sản xuất 1 cái quần lãi 300 nghìn đồng người ta sử dụng máy I trong 3 giờ, máy II trong 4 giờ mà máy III trong 2 giờ. Biết rằng máy I chỉ hoạt động không quá 50 giờ, máy II hoạt động không quá 70 giờ và máy III hoạt động không quá 48 giờ. Hỏi phải sản xuất bao nhiêu quần và áo để xưởng sản xuất đạt mức lãi cao nhất ?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi x, y (cái) lần lượt là số áo và số quần mà xưởng cần sản xuất (x, y ∈ ℕ).

Khi đó ta có:

x + 3y (giờ) là thời gian hoạt động của máy I;

2x + 4y (giờ) là thời gian hoạt động của máy II;

3x + 2y (giờ) là thời gian hoạt động của máy III.

Số tiền lãi của nhà máy L = 200x + 300y (nghìn đồng).

Do máy I chỉ hoạt động không quá 50 giờ, máy II hoạt động không quá 70 giờ và máy III hoạt động không quá 48 giờ nên ta có hệ $\left\{\begin{array}{c}x+3y\le 50\\ 2x+4y\le 70\\ 3x+2y\le 48\end{array}\right.$ .

Khi đó bài toán trở thành tìm số tự nhiên x, y thỏa hệ $\left\{\begin{array}{c}x+3y\le 50\\ 2x+4y\le 70\\ 3x+2y\le 48\end{array}\right.$  để L = 200x + 300y đạt giá trị lớn nhất.

Ta biểu diễn miền nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{c}x+3y\le 50\\ 2x+4y\le 70\\ 3x+2y\le 48\end{array}\right.$  với x ≥ 0; y ≥ 0.

 

Miền nghiệm của hệ là miền ngũ giác OABCD (kể cả biên) với O(0; 0), $A\left(0;\frac{50}{3}\right)$ , B(5; 15), $C\left(\frac{13}{2};\frac{57}{4}\right)$ , D(16; 0).

L lớn nhất tại các đỉnh của ngũ giác OABCD, do x, y ∈ ℕ nên ta chỉ cần tính giá trị của L tại các đỉnh O, B, D và so sánh.

Ta có:

L(0; 0) = 0, L(5; 15) = 5500, L(16; 0) = 3200.

Do đó, L_max  = 5500 tại x = 5 và y = 15.

Vậy phải sản xuất 5 cái áo và 15 cái quần để lợi nhuận lớn nhất.