Một viên bi được thả lăn từ đỉnh một cái dốc xuống chân dốc. Bi đi xuống nhanh dần và quãng đường mà bi đi được trong giây thứ i là: Si = 4i – 2 (m); i = 1; 2; ..n
227
05/08/2023
Câu 30: Một viên bi được thả lăn từ đỉnh một cái dốc xuống chân dốc. Bi đi xuống nhanh dần và quãng đường mà bi đi được trong giây thứ i là: Si = 4i – 2 (m); i = 1; 2; ..n.
1. Tính quãng đường mà bi đi được: trong giây thứ hai; sau hai giây.
2. Chứng minh rằng quãng đường mà tổng cộng mà bi đi được sau n giây (i và n là các số tự nhiên) là Ln = 2n2 (m)
A. 2m, 4m.
B. 6m, 8m.
C. 4m, 6m.
D. 4m, 8m.
Trả lời
Đáp án đúng: B
Giải thích:
1.
Quãng đường vật đi được trong giây thứ hai:
S2 = (4i – 2)|i = 2 = 4.2 – 2 = 6 (m).
Quãng đường vật đi được trong giây đầu tiên:
S1 = (4i – 2)|i = 1 = 4.1 – 2 = 2 (m).
Do đó quãng đường vật đi được sau hai giây:
L2 = S1 + S2 = 2 + 6 = 8 (m).
2.
Quãng đường vật đi được sau n giây là:
Ln = S1 + S2 + S3 + … + Sn
= (4.1 – 2) + (4.2 – 2) + (4.3 – 2) + …(4n – 2)
= 4(1 + 2 + 3 + … + n) – 2n
<=> Ln = 2n2 (đpcm).
Cách khác: chứng minh bằng quy nạp
- Khi n =1 thì L1 = 2.12 = 2 (đúng).
- Giả sử Ln = 2n2 đúng khi n = k, tức là Lk = 2k2.
Ta cần chứng minh Ln = 2n2 đúng với n = k + 1 hay Lk + 1 = 2(k + 1)2
Ta có: Lk + 1 = (S1 + … + S2) + Sk + 1 = 2k2 + [4(k + 1) – z] = 2k2 + 4k + 2
Hay Lk + 1 = 2(k2 + 2k + 1) = 2(k +1)
Vậy Ln = 2n2 (đpcm).