Khai triển z^2 + 1 + 1^4/z

Bài 8.17 trang 57 SBT Toán 10 Tập 2: Khai triển ${\left(z^2+1+\frac{1}{z}\right)}^4$.

Trả lời

Trước hết, ta sử dụng công thức khai triển của (a + b)⁴ với a = z² + 1 và $b=\frac{1}{z}$ .

Sau đó, ta sử dụng các công thức khai triển của (a + b)⁴, (a + b)³, (a + b)² với a = z², b = 1 để có:

${\left(z^2+1\right)}^4=C_4^0.{\left(z^2\right)}^4+C_4^1.{\left(z^2\right)}^3.1+C_4^2.{\left(z^2\right)}^2{.1}^2+C_4^3.z^2{.1}^3+C_4^4{.1}^4$

= z⁸ + 4z⁶ + 6z⁴ + 4z² + 1

${\left(z^2+1\right)}^3=C_3^0.{\left(z^2\right)}^3+C_3^1.{\left(z^2\right)}^2.1+C_3^2.z^2{.1}^2+C_3^3{.1}^3$

= z⁶ + 3z⁴ + 3z² + 1

(z² + 1)² = z⁴ + 2z² + 1

Vậy ta có:

$$\begin{gathered} {\left(z^2+1+\frac{1}{z}\right)}^4={\left[\left(z^2+1\right)+\frac{1}{z}\right]}^4 \\ =C_4^0.{\left(z^2+1\right)}^4+C_4^1{\left(z^2+1\right)}^3\frac{1}{z}+C_4^2{\left(z^2+1\right)}^2\frac{1}{z^2}+C_4^3\left(z^2+1\right)\frac{1}{z^3}+C_4^4\frac{1}{z^4} \\ ={\left(z^2+1\right)}^4+4{\left(z^2+1\right)}^3\frac{1}{z}+6{\left(z^2+1\right)}^2\frac{1}{z^2}+4\left(z^2+1\right)\frac{1}{z^3}+\frac{1}{z^4} \\ =\left(z^8+4z^6+6z^4+4z^2+1\right)+4\left(z^6+3z^4+3z^2+1\right)\frac{1}{z} \\ +6\left(z^4+2z^2+1\right)\frac{1}{z^2}+4\left(z^2+1\right)\frac{1}{z^3}+\frac{1}{z^4} \\ =z^8+4z^6+4z^5+6z^4+12z^3+10z^2+12z+13+\frac{8}{z}+\frac{6}{z^2}+\frac{4}{z^3}+\frac{1}{z^4} \end{gathered}$$

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 23: Quy tắc đếm

Bài 24: Hoán vị, chỉnh vị và tổ hợp

Bài 25: Nhị thức Newton

Ôn tập chương 8

Bài 26: Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất

Bài 27: Thực hành tính xác suất theo định nghĩa cổ điển