Hai xe chuyển động theo hai con đường vuông góc với nhau, xe A đi về hướng Tây với vận tốc 50 km/h

Đề bài: Hai xe chuyển động theo hai con đường vuông góc với nhau, xe A đi về hướng Tây với vận tốc 50 km/h, xe B đi về hướng Nam với vận tốc 30 km/h. Lúc 8h, A và B còn cách giao điểm của hai đường lần lượt là 4,4 km và 4 km.

a) Xác định khoảng cách giữa hai xe lúc 9 h.

b) Xác định thời điểm mà khoảng cách giữa hai xe bằng khoảng cách lúc 8h.

c) Xác định thời điểm mà khoảng cách giữa hai xe nhỏ nhất. Xác định khoảng cách đó.

Trả lời

Lấy hai trục tọa độ Ox và Oy trùng với hai con đường.

Chọn gốc tọa độ là giao điểm của hai con đường, chiều dương trên hai trục tọa độ ngược hướng với chiều chuyển động của hai xe với gốc thời gian là lúc 8h.

Phương trình chuyển động của xe A là: $x=-50t+4,4$ (1)

Phương trình chuyển động của xe B là: $y=-30t+4$ (2)

Gọi d là khoảng cách hai xe, ta có:

$d^2=x^2+y^2={\left(-50t+4,4\right)}^2+{\left(-30t+4\right)}^2$$=3400t^2-680t+35,36$ (3)

Khoảng cách ban đầu của hai xe: $d_0^2={\left(4,4\right)}^2+4^2=35,36$ (có thể tìm từ (3) bằng cách đặt t = 0)

a) Ta viết lại biểu thức của $d^2$ là $d^2=3400\left[{\left(t-0,1\right)}^2+0,34\right]$

Ta thấy khoảng cách hai xe nhỏ nhất, tức là $d^2$ nhỏ nhất, khi t = 0,1h = 6 phút. Vậy khoảng cách hai xe là nhỏ nhất lúc 8h06 phút.

b) Khoảng cách hai xe bằng khoảng cách ban đầu khi $d^2=d_0^2$

hay $3400t^2-680t+35,36=35,36\to 680t\left(5t-1\right)-0$$\to t=\frac{1}{5}=0,2h=$12 phút

Vậy khoảng cách hai xe bằng khoảng cách ban đầu lúc 8h12 phút.