Giải phương trình \(\sin 2x = \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\).

Ta có:

\(\sin 2x = \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = x + \frac{\pi }{4} + k2\pi \\2x = \pi - \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\2x = \pi - x - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\3x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{4} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là \[x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \] và \[x = \frac{\pi }{4} + k\frac{{2\pi }}{3}\] với k ∈ ℤ.