Giải phương trình:

\({\cos ^2}2x = {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\).

\({\cos ^2}2x = {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\)

\[ \Leftrightarrow \frac{{1 + \cos 4x}}{2} = \frac{{1 + \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)}}{2}\]

\[ \Leftrightarrow \cos 4x = \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = 2x + \frac{\pi }{3} + k2\pi \\4x = - 2x - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\6x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{{18}} + k\frac{\pi }{3}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là \[x = \frac{\pi }{6} + k\pi \] và \[x = - \frac{\pi }{{18}} + k\frac{\pi }{3}\] với k ∈ ℤ.