Giải các phương trình sau:

a) ${\log }_3(2x-1)=3$  ;                      

b) ${\log }_{49}x=0,25$  ;

c) ${\log }_2(3x+1)={\log }_2(2x-4)$ ;

d) ${\log }_5(x-1)+{\log }_5(x-3)={\log }_5(2x+10)$ ;

e) log x + log (x – 3) = 1;              

g) ${\log }_2\left({\log }_{81}x\right)=-2$ .

a) Điều kiện: 2x – 1 > 0 $\iff x>\frac{1}{2}$

Ta có:   ${\log }_3(2x-1)=3$

 $\iff 2x-1=3^3=27$

 $\iff x=14$ (nhận)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {14}.

b) Điều kiện: $x>0$

Ta có: ${\log }_{49}x=0,25$

$\iff {\log }_{7^2}x=\frac{1}{4}$

$\iff \frac{1}{2}{\log }_{7}x=\frac{1}{4}$

$\iff {\log }_{7}x=\frac{1}{2}$

 $\iff x=\sqrt{7}$ (nhận)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\left\{\sqrt{7}\right\}$

c) Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ {\log }_{81}x>0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x>0\\ x>{81}^0=1\end{array}\right.\Rightarrow x>1$

Ta có:  ${\log }_2(3x+1)={\log }_2(2x-4)$

⇔ 3x + 1 = 2x – 4 (do 2 >1)

⇔ x = – 5 (loại).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

d) Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x-1>0\\ x-3>0\\ 2x+10>0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x>-1\\ x>3\\ x>-5\end{array}\right.\Rightarrow x>3$

Ta có:  ${\log }_5(x-1)+{\log }_5(x-3)={\log }_5(2x+10)$

 $\iff {\log }_5\left[(x-1)(x-3)\right]={\log }_5(2x+10)$

$\iff {\log }_5\left(x^2-4x+3\right)={\log }_5(2x+10)$

 x² ­– 4x + 3 = 2x + 10 (do 2 >1)

x² – 6x – 7 = 0.

x = 7 (nhận) hoặc x = –1 (loại)   

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {7}.

e) Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ x-3>0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x>0\\ x>3\end{array}\right.\Rightarrow x>3$

Ta có: log x + log (x – 3) = 1

⇔ log [x(x – 3)] = 1

⇔ log (x² – 3x)=1

⇔ x² – 3x – 10 = 0 (do 10 >1)

⇔ x = 5 (nhận) hoặc x = –2 (loại)

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {5}.

g) Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ {\log }_{81}x>0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x>0\\ x>{81}^0=1\end{array}\right.\Rightarrow x>1$

Ta có:  ${\log }_2\left({\log }_{81}x\right)=-2$

$\iff {\log }_{81}x=2^{-2}\iff x={81}^{2^{-2}}=3$ (nhận)

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {3}.