Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số $y=\frac{x+3}{x+4m}$  nghịch biến trên khoảng $\left(2;+\infty \right)$ ?

Tập xác định $D=ℝ\backslash \left\{-4m\right\}$

Để hàm số xác định trên $\left(2;+\infty \right)$  thì  $-4m\le 2\iff m\ge -\frac{1}{2}$

Ta có  $y^{\text{'}}=\frac{4m-3}{{\left(x+4m\right)}^2}$

Hàm số nghịch biến trên khoảng  $\left(2;+\infty \right)\iff y^{\text{'}}<0,\forall x\in \left(2;+\infty \right)$

 $\iff \frac{4m-3}{{\left(x+4m\right)}^2}<0,\forall x\in \left(2;+\infty \right)\iff 4m-3<0\iff m<\frac{3}{4}$

Vậy có một số nguyên $m=0$  thỏa mãn.

Chọn A