Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn $14.P_3.C_{n-1}^{n-3}<A_{n+1}^4$?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện: n ≥ 3 và n ∈ ℕ*.

Ta có $14.P_3.C_{n-1}^{n-3}<A_{n+1}^4$

$\iff 14.3!.\frac{\left(n-1\right)!}{\left(n-3\right)!\left(n-1-n+3\right)!}<\frac{\left(n+1\right)!}{\left(n+1-4\right)!}$

$\iff \mathrm{14.3.2.1.}\frac{\left(n-1\right)!}{\left(n-3\right)!.2!}<\frac{\left(n+1\right)!}{\left(n-3\right)!}$

$\iff 84.\frac{\left(n-1\right).\left(n-2\right).\left(n-3\right)!}{\left(n-3\right)!.2}<\frac{\left(n+1\right).n.\left(n-1\right).\left(n-2\right).\left(n-3\right)!}{\left(n-3\right)!}$

⇔ 42.(n – 1)(n – 2) < (n + 1).n.(n – 1)(n – 2)

⇔ 42 < (n + 1).n      (do (n – 1)(n – 2) ≠ 0, với n ≥ 3 và n ∈ ℕ*)

⇔ n² + n – 42 > 0

⇔ n < –7 hoặc n > 6.

So với điều kiện n ≥ 3 và n ∈ ℕ*, ta nhận n > 6.

Vậy có vô số số tự nhiên n thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn phương án D.