Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số y=1/4x^4+mx-3/2x đồng biến trên khoảng (0,+ vô cùng) ?

A. 2

B. 1

C. 3

D. 0

Trả lời

Hàm số luôn xác định trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$ .

Hàm số $y=\frac{1}{4}{x}^4+mx-\frac{3}{2x}$  đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)\iff y^{\text{'}}\ge 0,\forall x\in \left(0;+\infty \right)$  và

$\iff x^3+m+\frac{3}{2x^2}\ge 0,\forall x\in \left(0;+\infty \right)\iff x^3+\frac{3}{2x^2}\ge -m,\forall x\in \left(0;+\infty \right)$ (1)

Xét hàm số $f\left(x\right)=x^3+\frac{3}{2x^2}$  trên $\left(0;+\infty \right)$

$f^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2-\frac{3}{x^3}=\frac{3\left(x^5-1\right)}{x^3};f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff x=1$.

Bảng biến thiên

 $\left(1\right)\iff -m\le \frac{5}{2}\iff m\ge -\frac{5}{2}$

Mà m là số nguyên âm nên $m\in \left\{-2;-1\right\}$ .

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn.

Chọn A.