Chứng minh rằng tích của hai số tự nhiên lẻ liên tiếp cộng thêm 1 thì luôn chia hết cho 4. Gợi ý: Mỗi số tự nhiên lẻ luôn viết được dưới

Bài 7.24 trang 30 SBT Toán 7 Tập 2: Chứng minh rằng tích của hai số tự nhiên lẻ liên tiếp cộng thêm 1 thì luôn chia hết cho 4.

Gợi ý: Mỗi số tự nhiên lẻ luôn viết được dưới dạng 2n – 1 với n $\in$ ℕ*, hoặc dưới dạng 2n + 1 với n $\in$ ℕ.

Trả lời

Hai số tự nhiên lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị nên nếu số thứ nhất là:

a = 2n − 1 (n $\in$ ℕ*)

Thì số thứ hai là b = a + 2 = 2n + 1

Khi đó:

ab + 1 = (2n − 1)(2n + 1) + 1 = (4n² + 2n − 2n − 1) + 1 = 4n²

Rõ ràng 4n² chia hết cho 4 nên ta có điều phải chứng minh.

Chú ý. Nếu viết hai số lẻ liên tiếp là a = 2n + 1  và b = a + 2 = 2n + 3 (n $\in$ ℕ)  thì:

ab + 1 = (2n + 1)(2n +  3) + 1 = 4(n² + 2n + 1) ⋮ 4