Chứng minh rằng hàm số f(x) = |x| không có đạo hàm tại điểm x0 = 0, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 0

Bài 2 trang 63 Toán 11 Tập 2 :Chứng minh rằng hàm số f(x) = |x| không có đạo hàm tại điểm x₀ = 0, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 0

Trả lời

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x₀ = 0.

Ta có ∆y = f(0 + ∆x) – f(0) = |∆x| – |0| = |∆x|.

Suy ra $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\left|\Delta x\right|}{\Delta x}.$

Ta thấy $\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\left|\Delta x\right|}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\Delta x}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }1=1$

            $\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\left|\Delta x\right|}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{-\Delta x}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\left(-1\right)=-1$

Do đó $\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}\ne \underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}$ nên không tồn tại $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}$

Vậy hàm số f(x) = |x| không có đạo hàm tại điểm x₀ = 0.

Ta có hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}xkhix>0\\ 0khix=0\\ -xkhix<0\end{array}\right.$

⦁ Với x > 0 ta có hàm số f(x) = x.

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x > 0.

Ta có ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = (x + ∆x) – x = ∆x.

Suy ra $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta x}{\Delta x}=1$

Ta thấy $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }1=1$

Do đó với x > 0 thì hàm số có đạo hàm f’(x) = 1.

⦁ Với x < 0 ta có hàm số f(x) = –x.

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x < 0.

Ta có ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = – (x + ∆x) + x = –∆x.

Suy ra $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{–\Delta x}{\Delta x}=-1$

Ta thấy $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(-1\right)=-1$

Do đó với x < 0 thì hàm số có đạo hàm f’(x) = –1.

Vậy hàm số f(x) = |x| không có đạo hàm tại x₀ = 0, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 0.

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác: