Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh trong một hình chữ nhật là các đỉnh của một hình thoi

Bài 3.31 trang 72 Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh trong một hình chữ nhật là các đỉnh của một hình thoi.

Trả lời

Giả sử có hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.

Ta cần chứng minh EFGH là hình thoi. Thật vậy:

Do ABCD là hình chữ nhật nên AD = BC.

H là trung điểm của AD nên AH = DH = $\frac{1}{2}$AD ;

F là trung điểm của BC nên BF = CF = $\frac{1}{2}$BC

Do đó AH = DH = BF = CF.

Xét $∆$AHE và $∆$BFE có:

$\widehat{HAE}=\widehat{FBE}=90°$;

AE = BE (do E là trung điểm của AB);

AH = BF (chứng minh trên).

Do đó $∆$AHE = $∆$BFE (hai cạnh góc vuông)

Suy ra HE = FE (hai cạnh tương ứng).

Tương tự, ta cũng có:

• $∆$BEF = $∆$CGF (hai cạnh góc vuông), suy ra EF = GF (hai cạnh tương ứng).

• $∆$CGF = $∆$DGH (hai cạnh góc vuông), suy ra GF = GH (hai cạnh tương ứng).

Từ đó ta có EF = FG = GH = HE

Do đó tứ giác EFHG là hình thoi.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: