Chứng minh các đẳng thức:
a) cos4 α – sin4 α = 2cos2 α – 1;
b) \(\frac{{{{\cos }^2}\alpha + {{\tan }^2}\alpha - 1}}{{{{\sin }^2}\alpha }} = {\tan ^2}\alpha \).
Lời giải:
a) Áp dụng sin2 α + cos2 α = 1, suy ra sin2 α = 1 – cos2 α.
Ta có: VT = cos4 α – sin4 α = (cos2 α)2 – (sin2 α)2
= (cos2 α + sin2 α)(cos2 α – sin2 α)
= 1 . (cos2 α – sin2 α)
= cos2 α – (1 – cos2 α)
= 2cos2 α – 1 = VP (đpcm).
b) Áp dụng các hệ thức lượng giác cơ bản.
Ta có: \(VT = \frac{{{{\cos }^2}\alpha + {{\tan }^2}\alpha - 1}}{{{{\sin }^2}\alpha }}\)\( = \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{{{{\tan }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} - \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\)
\( = {\cot ^2}\alpha + \frac{{\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}}}{{{{\sin }^2}\alpha }} - \left( {1 + {{\cot }^2}\alpha } \right)\)\( = {\cot ^2}\alpha + \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1 - {\cot ^2}\alpha \)
\( = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1 = \left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right) - 1 = {\tan ^2}\alpha = VP\) (đpcm).