Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA=AB=3cm, BC=5cm và diện
55
23/04/2024
Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA=AB=3cm, BC=5cm và diện tích tam giác SAC bằng 6cm2 . Một mặt phẳng (α) thay đổi qua trọng tâm G của tứ diện cắt các cạnh AS, AB, AC lần lượt tại M, N, P. Tính giá trị nhỏ nhất Tm của biểu thức T=1AM2+1AN2+1AP2 .
B. Tm=41144
C. Tm=110
D. Tm=134
Trả lời
Gắn trục tC(0;4;0), S(0;0;3)ọa độ Ox, Oy, Oz như hình vẽ.
![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2023/01/1-1674793775.png)
Vì tam giác SAC vuông tại A
⇒AC=2SΔSACSA=4cm
Vì AC2+AB2=BC2 nên tam giác ABC vuông tại A.
Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ.
Ta có A(0;0;0), B(3;0;0) ,
Vì G là trọng tâm của tứ diện S.ABC nên ta có:
{xG=xS+xA+xB+xC4=34yG=yS+yA+yB+yC4=1zG=zS+zA+zB+zC4=34⇒G(34;1;34)
Gọi H là hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng (α) . Theo tính chất của tam diện vuông ta có: T=1AM2+1AN2+1AP2=1AH2 .
Mà AH≤AG⇒T=1AM2+1AN2+1AP2=1AH2≥1AG2⇒T≥817 .
Dấu “=” xảy ra khi H≡G tức mặt phẳng (α) đi qua điểm G và vuông góc với đường thẳng OG.
Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng 817 .
Chọn A.