Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=2a và vuông
66
23/04/2024
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMC) và (SBC) bằng
B. 2√33
C. √55
D. 2√55
Trả lời
![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2023/01/1-1674793388.png)
Để thuận tiện trong việc tính toán ta chọn a=1 .
Trong không gian, gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ sao cho gốc O trùng với điểm A, tia Ox trùng với tia AB, tia Oy trùng với tia AD, tia Oz trùng với tia AS.
Khi đó A(0;0;0), B(1;0;0), C(1;1;0), S(0;0;2), D(0;1;0) .
Vì M là trung điểm SD nên tọa độ M là M(0;12;1) .
Ta có {→SB=(1;0;−2)→BC=(0;1;0)⇒→n(SBC)=[→SB;→BC]=(2;0;1) .
{→AM=(0;12;1)→AC=(1;1;0)⇒→n(AMC)=[→AM;→AC]=(−1;1;−12)
Góc α là góc giữa hai mặt phẳng (AMC) và (SBC) .
Suy ra cosα=|cos(→n(SBC);→n(AMC))|=|→n(SBC).→n(AMC)||→n(SBC)|.|→n(AMC)|=√53 .
Mặt khác, 1+tan2α=1cos2α⇒tanα=√1cos2α−1 .
Vậy tanα=√1(√53)2−1=2√55 .
Chọn D.