Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của điểm O trên mặt phẳng (ABC)

Bài 1 trang 76 SBT Toán 11 Tập 2Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của điểm O trên mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:

a) BC ⊥ (OAH).

b) H là trực tâm của ∆ABC.

c) 1OH2=1OA2+1OB2+1OC2 .

Trả lời

Cho tứ diện OABC có OA OB OC đôi một vuông góc với nhau Gọi H là hình chiếu

a)Ta có: Cho tứ diện OABC có OA OB OC đôi một vuông góc với nhau Gọi H là hình chiếu

OA(OBC)OABC.1

OHBCOHABC.2

Từ (1) và (2)  BC ⊥ (OAH).

b)Từ a)  BC ⊥ AH. (*)

Ta dễ dàng chứng minh được OC ⊥ (OAB)  OC ⊥ AB. (3)

Lại có: OH ⊥ AB (do OH ⊥ (ABC))  OH ⊥ AB. (4)

Từ (3) và (4)  AB ⊥ (OHC) hay AB ⊥ HC. (**)

Từ (*) và (**)  H là trực tâm của tam giác ABC.

c)Dễ thấy OD, OH là các đường cao của tam giác OBC và OAD.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

Cho tứ diện OABC có OA OB OC đôi một vuông góc với nhau Gọi H là hình chiếu

Do đó 1OH2=1OA2+1OB2+1OC2.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Câu hỏi cùng chủ đề

Xem tất cả