Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của CD, kẻ AH vuông góc với BM tại H
428
20/11/2023
Bài 7.19 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của CD, kẻ AH vuông góc với BM tại H.
a) Chứng minh rằng AH ⊥ (BCD).
b) Tính côsin của góc giữa mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD).
Trả lời

a) Vì M là trung điểm của CD nên BM là trung tuyến.
Vì BCD là tam giác đều nên CD ⊥ BM.
Tương tự CD ⊥ AM nên CD ⊥ (ABM), suy ra CD ^ AH.
Mà AH ⊥ BM nên AH ⊥ (BCD).
b) Vì AM ⊥ CD, BM ⊥ CD nên góc giữa hai mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD) bằng góc giữa hai đường thẳng AM và BM, mà (AB,BM) = ^AMB.
Tam giác BCD đều có BM là đường cao đồng thời là trung tuyến, ta chứng minh được H là trọng tâm tam giác BCD nên BM = a√32 và HM = 13BM = a√36.
Tam giác ADC đều có AM là đường cao đồng thời là trung tuyến nên AM = a√32 .
Xét tam giác AHM vuông tại H nên cos^AMB = cos^AMH=HMAM=13.
Vậy côsin của góc giữa mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD) bằng 13 .
Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
Bài 23: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc
Bài 26: Khoảng cách
Bài 27: Thể tích
Bài tập cuối chương 7